lim 是极限符号，全称 limit，用来表示函数或者数列在自变量趋近某个值的时候，函数值无限靠近的确定数值，极限是高等数学的入门核心内容，后面导数定积分全部建立在极限概念之上，整套体系包含极限定义，四则运算法则，两个重要极限，等价无穷小，夹逼准则，洛必达法则，单调有界准则这些核心公式，做题的时候就是组合使用这些公式来求解 lim 极限，很多同学学极限的时候公式零散，做题不知道该调用哪一条，所以把全部常用公式整理汇总，方便刷题背诵，要注意每一条公式都有适用前提，不能不分条件直接套用，尤其是洛必达法则和等价无穷小替换，乱用很容易算出错误结果。

极限基础记号

极限存在充要条件，左极限等于右极限，左右极限都存在并且数值相等，lim 极限才存在。

极限四则运算法则

前提是两个极限本身都存在

和差法则 lim (A 加减 B) 等于 limA 加减 limB

乘积法则 lim (A 乘 B) 等于 limA 乘 limB

商法则 lim (A 除以 B) 等于 limA 除以 limB，分母极限不能等于 0

数乘法则 lim (kA) 等于 k 乘 limA，k 是常数

幂法则 lim (A 的 n 次方) 等于 limA 整体的 n 次方

两个重要极限

第一个重要极限 lim sinx 除以 x，x 趋近 0，结果等于 1

第二个重要极限 lim 1 加 x 分之一的 x 次方，x 趋近无穷，结果等于 e

变形版本 lim 1 加 x 的 x 分之一次方，x 趋近 0，结果等于 e

等价无穷小替换公式 x 趋近 0

sinx 等价 x

tanx 等价 x

arcsinx 等价 x

arctanx 等价 x

1 减 cosx 等价二分之一 x 平方

e 的 x 次方减 1 等价 x

ln (1 加 x) 等价 x

a 的 x 次方减 1 等价 x 乘 lna

1 加 x 的 n 次方根减 1 等价 n 分之一 x

其他核心定理公式

夹逼准则 三个函数满足 g (x) 小于等于 f (x) 小于等于 h (x)，如果 g 和 h 的 lim 极限相等，那么 f 的 lim 极限就等于这个公共值

单调有界准则 单调递增并且有上界，或者单调递减并且有下界的数列，数列极限一定存在

洛必达法则 适用 0 比 0 型或者无穷比无穷型，lim f (x) 除以 g (x) 等于 lim f 导数除以 g 导数，前提导数之后极限存在或者是无穷

解题操作步骤

第一步先判断极限类型，是定型还是未定式，定型直接代入数值计算

第二步如果是未定式，识别是 0 比 0，无穷比无穷，还是其他类型，其他类型可以先转化成这两种

第三步选择匹配公式，优先两个重要极限，等价无穷小，之后考虑洛必达，夹逼准则

第四步计算完成之后检查公式适用条件，确认没有违规套用

【常见问题】

问题 1 lim 极限函数公式里面洛必达法则有没有使用限制

回答 1 lim 极限函数公式里洛必达法则只可以用于 0 比 0 或者无穷比无穷未定式，其他未定式不能直接使用，而且求导之后极限不存在不代表原极限不存在。

问题 2 lim 极限函数公式两个重要极限一定要记住吗

回答 2 lim 极限函数公式两个重要极限是必考内容，绝大多数 0 比 0 型三角函数极限都要借助第一个重要极限，指数类极限经常使用第二个重要极限。

问题 3 lim 极限函数公式等价无穷小什么时候不能随便替换

回答 3 lim 极限函数公式等价无穷小只能在乘除因子位置替换，加减项里面不能随意替换，这个是高频易错点，强行替换会出现计算错误。

【免责申明】

本内容为高等数学极限常用公式整理，不同教材符号表述略有差异，考试请以本校大纲教材为准，内容仅供学习刷题参考。