【向量相乘公式】在数学和物理中，向量的运算非常重要，尤其是在处理三维空间中的力学、电磁学和工程问题时。其中，向量相乘是常见的操作之一，主要包括点积（数量积）和叉积（向量积）两种形式。以下是对这两种向量相乘方式的总结。

一、点积（数量积）

定义：

两个向量 a 和 b 的点积是一个标量，表示为 a · b，其值等于两个向量的模长与它们夹角余弦值的乘积。

公式：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

坐标形式：

若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

特点：

- 点积的结果是一个标量（没有方向）

- 当两向量垂直时，点积为0

二、叉积（向量积）

定义：

两个向量 a 和 b 的叉积是一个向量，表示为 a × b，其方向垂直于这两个向量所构成的平面，大小等于两个向量模长与夹角正弦值的乘积。

公式：

$$

$$

方向：

由右手定则决定，即四指从 a 指向 b，拇指指向叉积方向。

坐标形式：

若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

特点：

- 叉积的结果是一个向量

- 当两向量平行时，叉积为零向量

三、对比总结

四、小结

向量相乘在物理学和工程学中有着广泛的应用，点积和叉积各有不同的几何意义和物理含义。掌握它们的公式和使用方法，有助于更好地理解向量在实际问题中的作用。通过表格对比，可以更清晰地看到两者之间的区别与联系，便于记忆和应用。