【向量垂直的公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。向量之间的垂直关系可以通过它们的点积（内积）来判断。如果两个向量的点积为零，则这两个向量相互垂直。这一结论是向量运算中的基本定理之一，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
一、向量垂直的基本定义
设两个向量分别为 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$，则它们的点积定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
$$
当且仅当 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 时，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
二、向量垂直的公式总结
| 向量类型 | 公式表达 | 说明 |
| 二维向量 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | 两个二维向量的点积公式 |
| 三维向量 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 两个三维向量的点积公式 |
| 一般n维向量 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i$ | n维向量的点积通用公式 |
| 判断垂直条件 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 点积为零表示两向量垂直 |
三、应用举例
例1：
已知向量 $\vec{a} = (2, -1)$，$\vec{b} = (1, 2)$，判断是否垂直。
计算点积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 = 2 - 2 = 0
$$
因此，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
例2：
已知向量 $\vec{u} = (3, 4, 5)$，$\vec{v} = (-5, 0, 3)$，判断是否垂直。
计算点积：
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-5) + 4 \times 0 + 5 \times 3 = -15 + 0 + 15 = 0
$$
因此，$\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 垂直。
四、小结
向量垂直的判断核心在于点积是否为零。无论是在二维、三维还是高维空间中，该原理均适用。掌握这一公式有助于快速判断向量之间的关系，是学习向量代数的重要基础。
