【已知数列an的前n项和sn求通项公式】在数列的学习中，我们常常需要根据数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 来求出数列的通项公式 $ a_n $。这种题型是高中数学中的常见问题，也是理解数列性质的重要环节。
一、基本思路
已知数列 $ \{a_n\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，则数列的通项公式 $ a_n $ 可以通过以下方式求得：
- 当 $ n = 1 $ 时，$ a_1 = S_1 $
- 当 $ n \geq 2 $ 时，$ a_n = S_n - S_{n-1} $
因此，数列的通项公式可以表示为：
$$
a_n =
\begin{cases}
S_1 & (n=1) \\
S_n - S_{n-1} & (n \geq 2)
\end{cases}
$$
二、典型例题与解析
例题1：
已知数列 $ \{a_n\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n = n^2 + 2n $，求通项公式 $ a_n $。
解：
- 当 $ n = 1 $ 时，$ a_1 = S_1 = 1^2 + 2 \times 1 = 3 $
- 当 $ n \geq 2 $ 时，
$$
a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - [(n-1)^2 + 2(n-1)
$$
展开并化简：
$$
a_n = n^2 + 2n - [(n^2 - 2n + 1) + 2n - 2] = n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2)
$$
$$
= n^2 + 2n - (n^2 -1) = 2n + 1
$$
结论：
$$
a_n =
\begin{cases}
3 & (n=1) \\
2n + 1 & (n \geq 2)
\end{cases}
$$
三、通项公式的总结表格
| 项目 | 内容 |
| 已知条件 | 数列 $ \{a_n\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $ |
| 通项公式推导方法 | $ a_1 = S_1 $；当 $ n \geq 2 $ 时，$ a_n = S_n - S_{n-1} $ |
| 通项公式表达式 | $ a_n = \begin{cases} S_1 & (n=1) \\ S_n - S_{n-1} & (n \geq 2) \end{cases} $ |
| 注意事项 | 若 $ S_n $ 是一个多项式，通常可直接代入计算；注意分段函数的定义域 |
四、小结
通过前 $ n $ 项和 $ S_n $ 求通项公式，关键在于理解数列的前几项与总和之间的关系，并利用差值法进行推导。对于不同的 $ S_n $ 表达式，通项公式可能呈现出线性、二次或更高阶的形式，但其本质都是基于前后两项之差。
掌握这一方法，有助于提高对数列性质的理解和应用能力，是学习数列的重要基础之一。
