【定积分和不定积分的公式】在微积分中，积分是数学分析的重要组成部分，分为不定积分和定积分两种形式。它们分别用于求原函数和计算函数在某一区间上的面积。以下是对两者公式的总结，并通过表格形式进行对比，便于理解与记忆。
一、不定积分
定义：设函数 $ f(x) $ 在某个区间内有定义，若存在一个函数 $ F(x) $，使得对任意 $ x $ 都有
$$
F'(x) = f(x)
$$
则称 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，而所有原函数的集合称为 $ f(x) $ 的不定积分，记作
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
基本性质：
- $\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$
- $\int a f(x) \, dx = a \int f(x) \, dx$（$a$ 为常数）
二、定积分
定义：设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则其在该区间的定积分定义为
$$
\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^) \Delta x
$$
其中 $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $，$ x_i^ $ 是区间中的任意一点。
几何意义：定积分表示曲线 $ y = f(x) $ 与 $ x $ 轴之间，在区间 $[a, b]$ 上所围成的图形的面积（考虑正负）。
基本性质：
- $\int_a^a f(x) \, dx = 0$
- $\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$
- $\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx$
三、常见函数的积分公式对比表
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 定积分 $ \int_a^b f(x) \, dx $ | ||||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） | ||||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | $ e^b - e^a $ | ||||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | $ -\cos b + \cos a $ | ||||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | $ \sin b - \sin a $ | ||||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | $ \ln \left | \frac{b}{a} \right | $ |
| $ \frac{1}{x^2} $ | $ -\frac{1}{x} + C $ | $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ |
四、总结
- 不定积分关注的是函数的原函数，结果是一个含常数的表达式。
- 定积分关注的是函数在某一段区间内的累积值，结果是一个具体数值。
- 二者之间的关系由牛顿-莱布尼兹公式连接：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
掌握这些公式和它们的应用，有助于解决实际问题，如求面积、体积、物理量等。
