【相关系数r（的两个公式）】在统计学中，相关系数r是衡量两个变量之间线性关系密切程度的重要指标。它能够帮助我们判断两个变量是否呈正相关、负相关或无相关。相关系数r的取值范围在-1到1之间，数值越接近1或-1，表示相关性越强；数值接近0则表示相关性较弱或没有相关性。
在实际应用中，根据数据的类型和计算方式的不同，相关系数r有多种计算方法，其中最常见的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。以下是对这两个公式的简要总结与对比。
一、皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）
定义：
皮尔逊相关系数用于衡量两个连续变量之间的线性相关程度。其计算基于变量的协方差与标准差。
公式：
$$
r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}
$$
其中：
- $ x_i $ 和 $ y_i $ 是变量X和Y的观测值；
- $ \bar{x} $ 和 $ \bar{y} $ 是变量X和Y的均值。
适用条件：
- 数据为连续变量；
- 变量之间存在线性关系；
- 数据近似服从正态分布。
二、斯皮尔曼等级相关系数（Spearman Rank Correlation Coefficient）
定义：
斯皮尔曼相关系数是一种非参数方法，用于衡量两个有序变量或非正态分布变量之间的单调关系。它基于变量的排名而非原始数值。
公式：
$$
r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}
$$
其中：
- $ d_i = R(x_i) - R(y_i) $，即第i个数据点在X和Y中的排名之差；
- $ n $ 是样本数量。
适用条件：
- 数据为有序变量（如评分、排名）；
- 不要求变量服从正态分布；
- 适用于非线性但单调的关系。
三、两者的比较
| 特征 | 皮尔逊相关系数 | 斯皮尔曼等级相关系数 |
| 类型 | 参数方法 | 非参数方法 |
| 数据类型 | 连续变量 | 有序变量/非正态变量 |
| 关系类型 | 线性关系 | 单调关系 |
| 计算基础 | 原始数值 | 排名 |
| 对异常值敏感 | 敏感 | 不敏感 |
| 应用场景 | 线性关系分析 | 排名或非正态数据分析 |
四、总结
相关系数r的两个主要公式——皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数，分别适用于不同的数据类型和分析需求。选择合适的公式有助于更准确地描述变量之间的关系。在实际研究中，应根据数据特征和分析目的合理选用，以提高结果的可靠性与解释力。
