【大学最小二乘法例题及答案】在大学数学或工程课程中，最小二乘法是一个重要的数值方法，用于解决数据拟合问题。它通过最小化误差平方和来寻找最佳拟合曲线或直线。本文将通过一个典型例题，详细展示最小二乘法的计算过程，并以表格形式总结关键步骤与结果，帮助读者更好地理解和应用该方法。
一、例题背景
某实验测得一组数据点如下：
| x | y |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
要求用最小二乘法求出该组数据的最佳拟合直线：
$$ y = a + bx $$
二、解题思路
最小二乘法的目标是找到系数 $ a $ 和 $ b $，使得误差平方和最小。即：
$$
S = \sum_{i=1}^{n}(y_i - (a + bx_i))^2
$$
为了求极值，对 $ a $ 和 $ b $ 分别求偏导并令其为零，得到正规方程组：
$$
\begin{cases}
na + b\sum x_i = \sum y_i \\
a\sum x_i + b\sum x_i^2 = \sum x_i y_i
\end{cases}
$$
三、计算过程
首先，计算相关数据：
| x | y | x² | xy |
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 6 |
| 3 | 5 | 9 | 15 |
| 4 | 7 | 16 | 28 |
| 合计 | 17 | 30 | 51 |
从表中可得：
- $ n = 4 $
- $ \sum x = 10 $
- $ \sum y = 17 $
- $ \sum x^2 = 30 $
- $ \sum xy = 51 $
代入正规方程组：
$$
\begin{cases}
4a + 10b = 17 \\
10a + 30b = 51
\end{cases}
$$
解这个方程组：
1. 由第一式得：$ a = \frac{17 - 10b}{4} $
2. 代入第二式：
$$
10\left(\frac{17 - 10b}{4}\right) + 30b = 51
$$
$$
\frac{170 - 100b}{4} + 30b = 51
$$
$$
42.5 - 25b + 30b = 51
$$
$$
5b = 8.5 \Rightarrow b = 1.7
$$
再代入求 $ a $：
$$
a = \frac{17 - 10 \times 1.7}{4} = \frac{17 - 17}{4} = 0
$$
所以，最佳拟合直线为：
$$
y = 0 + 1.7x
$$
四、结果总结（表格）
| 参数 | 数值 |
| a | 0 |
| b | 1.7 |
| 直线方程 | $ y = 1.7x $ |
| 误差平方和 | $ S = \sum (y_i - 1.7x_i)^2 $ |
计算误差平方和：
| x | y | 预测值 $ y = 1.7x $ | 误差 $ e = y - \hat{y} $ | 误差平方 $ e^2 $ |
| 1 | 2 | 1.7 | 0.3 | 0.09 |
| 2 | 3 | 3.4 | -0.4 | 0.16 |
| 3 | 5 | 5.1 | -0.1 | 0.01 |
| 4 | 7 | 6.8 | 0.2 | 0.04 |
| 总计 | 17 | 17 | 0 | 0.30 |
五、结论
通过最小二乘法，我们得到了数据点的最佳拟合直线为 $ y = 1.7x $，并计算了对应的误差平方和为 0.30。此方法在实际数据拟合中具有广泛的应用，特别是在回归分析和数据建模中。理解并掌握这一方法，有助于提高数据分析和模型构建的能力。
