【极限的四则运算法则】在微积分中，极限是研究函数变化趋势的重要工具。对于两个存在极限的函数，它们的和、差、积、商等基本运算也具有相应的极限法则。这些法则不仅简化了极限的计算过程，也为后续的导数与积分打下了基础。
以下是对“极限的四则运算法则”的总结，并通过表格形式清晰展示其内容。
一、极限的四则运算法则总结
1. 加法法则：两个函数的和的极限等于各自极限的和。
2. 减法法则：两个函数的差的极限等于各自极限的差。
3. 乘法法则：两个函数的积的极限等于各自极限的积。
4. 除法法则：两个函数的商的极限等于各自极限的商（分母不为零）。
这些法则在实际应用中非常广泛，尤其适用于初等函数的极限计算。
二、极限四则运算法则表格
| 运算类型 | 数学表达式 | 条件 | 说明 |
| 加法 | $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$ | $\lim_{x \to a} f(x)$ 和 $\lim_{x \to a} g(x)$ 存在 | 两个函数的和的极限等于各自的极限之和 |
| 减法 | $\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$ | $\lim_{x \to a} f(x)$ 和 $\lim_{x \to a} g(x)$ 存在 | 两个函数的差的极限等于各自的极限之差 |
| 乘法 | $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$ | $\lim_{x \to a} f(x)$ 和 $\lim_{x \to a} g(x)$ 存在 | 两个函数的积的极限等于各自的极限之积 |
| 除法 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ | $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，$\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$ | 两个函数的商的极限等于各自的极限之商，且分母极限不为零 |
三、注意事项
- 上述法则仅适用于极限存在的前提下；
- 如果其中一个函数的极限不存在或为无穷大，则不能直接使用四则运算法则；
- 在某些特殊情况下（如不定型 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $），需要进一步化简或使用洛必达法则等方法处理。
通过掌握极限的四则运算法则，可以更高效地求解复杂函数的极限问题，为后续学习微积分奠定坚实的基础。
