【各种分布的方差与期望】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量特征的重要指标。不同的概率分布具有各自独特的期望和方差表达式。以下是对常见概率分布的期望与方差进行总结，并以表格形式展示。
一、离散型分布
1. 二项分布（Binomial Distribution）
- 定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从参数为n和p的二项分布。
- 期望：E(X) = np
- 方差：Var(X) = np(1-p)
2. 泊松分布（Poisson Distribution）
- 定义：表示单位时间内某事件发生的次数。
- 期望：E(X) = λ
- 方差：Var(X) = λ
3. 几何分布（Geometric Distribution）
- 定义：表示首次成功前的试验次数。
- 期望：E(X) = 1/p
- 方差：Var(X) = (1-p)/p²
4. 超几何分布（Hypergeometric Distribution）
- 定义：从有限总体中不放回抽取样本时的分布。
- 期望：E(X) = n (K/N)
- 方差：Var(X) = n (K/N) (1 - K/N) (N - n)/(N - 1)
二、连续型分布
1. 均匀分布（Uniform Distribution）
- 定义：在区间[a, b]上均匀分布。
- 期望：E(X) = (a + b)/2
- 方差：Var(X) = (b - a)² / 12
2. 正态分布（Normal Distribution）
- 定义：对称的钟形曲线，常用参数为均值μ和标准差σ。
- 期望：E(X) = μ
- 方差：Var(X) = σ²
3. 指数分布（Exponential Distribution）
- 定义：描述事件发生时间间隔的分布。
- 期望：E(X) = 1/λ
- 方差：Var(X) = 1/λ²
4. 卡方分布（Chi-squared Distribution）
- 定义：由标准正态分布的平方和构成。
- 期望：E(X) = k
- 方差：Var(X) = 2k
三、其他重要分布
1. 贝塔分布（Beta Distribution）
- 定义：常用于概率模型中的先验分布。
- 期望：E(X) = α/(α + β)
- 方差：Var(X) = αβ / [(α + β)²(α + β + 1)
2. 伽马分布（Gamma Distribution）
- 定义：指数分布的推广，适用于等待时间或寿命模型。
- 期望：E(X) = α/β
- 方差：Var(X) = α/β²
总结表格
| 分布名称 | 参数 | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 二项分布 | n, p | np | np(1-p) |
| 泊松分布 | λ | λ | λ |
| 几何分布 | p | 1/p | (1-p)/p² |
| 超几何分布 | N, K, n | nK/N | nK/N(1-K/N)(N-n)/(N-1) |
| 均匀分布 | a, b | (a+b)/2 | (b-a)²/12 |
| 正态分布 | μ, σ | μ | σ² |
| 指数分布 | λ | 1/λ | 1/λ² |
| 卡方分布 | k | k | 2k |
| 贝塔分布 | α, β | α/(α+β) | αβ/[(α+β)²(α+β+1)] |
| 伽马分布 | α, β | α/β | α/β² |
通过了解这些分布的期望与方差，有助于我们在实际问题中更好地建模和分析数据。希望本文能为学习概率统计的同学提供一定的参考与帮助。
