【反三角函数公式是什么】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数。它们用于根据已知的三角函数值来求出对应的角度。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。这些函数在解三角形、微积分、物理和工程等领域中都有广泛应用。
以下是对常见反三角函数的基本定义及其相关公式的总结：
一、基本定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | y = arcsin(x) | -1 ≤ x ≤ 1 | -π/2 ≤ y ≤ π/2 |
| 反余弦 | y = arccos(x) | -1 ≤ x ≤ 1 | 0 ≤ y ≤ π |
| 反正切 | y = arctan(x) | x ∈ ℝ | -π/2 < y < π/2 |
二、常用公式
1. 反三角函数与三角函数的关系
| 公式 | 说明 |
| sin(arcsin(x)) = x | 反函数与原函数互为反函数 |
| cos(arccos(x)) = x | 同上 |
| tan(arctan(x)) = x | 同上 |
| arcsin(sin(x)) = x | 当 x ∈ [-π/2, π/2] |
| arccos(cos(x)) = x | 当 x ∈ [0, π] |
| arctan(tan(x)) = x | 当 x ∈ (-π/2, π/2) |
2. 互补关系
| 公式 | 说明 |
| arcsin(x) + arccos(x) = π/2 | 任意 x ∈ [-1, 1] |
| arctan(x) + arctan(1/x) = π/2 | 当 x > 0 |
| arctan(x) + arctan(1/x) = -π/2 | 当 x < 0 |
3. 对称性与奇偶性
| 公式 | 说明 |
| arcsin(-x) = -arcsin(x) | 奇函数 |
| arccos(-x) = π - arccos(x) | 非奇非偶函数 |
| arctan(-x) = -arctan(x) | 奇函数 |
4. 和差公式
| 公式 | 说明 |
| arcsin(x) ± arcsin(y) = arcsin(x√(1−y²) ± y√(1−x²)) | 复杂表达式，需注意范围限制 |
| arccos(x) ± arccos(y) = arccos(xy ∓ √(1−x²)√(1−y²)) | 同上 |
| arctan(x) ± arctan(y) = arctan((x ± y)/(1 ∓ xy)) | 注意分母不为零，且角度范围限制 |
三、应用举例
- 例1：若 sinθ = 1/2，则 θ = arcsin(1/2) = π/6 或 5π/6。
- 例2：若 cosθ = √3/2，则 θ = arccos(√3/2) = π/6。
- 例3：若 tanθ = 1，则 θ = arctan(1) = π/4。
四、注意事项
- 反三角函数的结果通常以弧度表示，也可转换为角度。
- 某些公式在特定区间内才成立，使用时需注意定义域和值域。
- 在实际计算中，建议使用计算器或数学软件辅助求解。
通过以上内容，我们可以对反三角函数的基本定义、公式及应用有更清晰的认识。在学习和使用过程中，结合图形理解会更加直观有效。
