【有哪些求导公式】在微积分的学习中，求导是基本且重要的内容之一。掌握常见的求导公式有助于快速解决数学问题，特别是在物理、工程和经济学等领域中应用广泛。以下是一些常见的求导公式总结，帮助学习者更好地理解和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 表达式 |
| 常数倍法则 | $ (Cf(x))' = C f'(x) $ |
| 加法法则 | $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法法则 | $ (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与隐函数求导
- 高阶导数：对函数进行多次求导，如：
- $ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x) $
- $ f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x) $
- 隐函数求导：对于不能显式表示的函数，如 $ F(x, y) = 0 $，可使用隐函数定理进行求导。
四、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
五、常用导数公式小结
为了便于记忆，可以将上述内容归纳如下：
- 多项式函数：幂函数求导规则。
- 三角函数：正弦、余弦、正切、余切的导数。
- 指数与对数函数：自然指数和对数、一般指数的导数。
- 导数法则：加减乘除及链式法则。
- 高阶导数与隐函数：适用于复杂函数的处理。
通过熟练掌握这些求导公式和法则，可以提高解题效率，并为进一步学习微分方程、积分等内容打下坚实的基础。建议在实际练习中不断巩固这些知识，做到灵活运用。
