【什么是可分离变量的微分方程】在微积分和微分方程的学习中，可分离变量的微分方程是一种较为基础且常见的类型。它具有结构简单、易于求解的特点，因此是初学者学习微分方程的重要起点。

可分离变量的微分方程是指可以将方程中的变量分别移到等式的两边，使得方程可以表示为两个函数分别只含有一个变量的形式。这种形式便于通过积分进行求解。

一、定义与基本形式

可分离变量的微分方程一般可以表示为：

$$

\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)

$$

其中，$f(x)$ 是仅关于 $x$ 的函数，$g(y)$ 是仅关于 $y$ 的函数。

通过移项，可以将其改写为：

$$

\frac{1}{g(y)} \, dy = f(x) \, dx

$$

这样，就可以分别对两边进行积分，得到通解。

二、求解步骤

以下是求解可分离变量微分方程的基本步骤：

三、示例解析

例子1：

解微分方程：

$$

\frac{dy}{dx} = x \cdot y

$$

步骤：

1. 分离变量：

$$

\frac{1}{y} \, dy = x \, dx

$$

2. 积分：

$$

\int \frac{1}{y} \, dy = \int x \, dx \Rightarrow \lny = \frac{1}{2}x^2 + C

$$

3. 解出 $y$：

$$

y = Ce^{\frac{1}{2}x^2}

$$

四、总结

结语：

可分离变量的微分方程是微分方程中最基础的一类，掌握其解法有助于理解更复杂的微分方程类型。通过合理的变量分离和积分操作，可以快速找到方程的通解或特解，是数学建模中非常实用的工具。