【导数公式及运算法则】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。掌握常见的导数公式和运算法则是进行复杂计算的基础。以下是对常见导数公式及运算法则的总结。
一、基本导数公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、导数的运算法则
在实际运算中，常常需要对多个函数进行加减乘除或复合操作，此时可以使用以下运算法则：
1. 常数倍法则
若 $ f(x) = k \cdot g(x) $，其中 $ k $ 为常数，则：
$$
f'(x) = k \cdot g'(x)
$$
2. 加法法则
若 $ f(x) = g(x) + h(x) $，则：
$$
f'(x) = g'(x) + h'(x)
$$
3. 减法法则
若 $ f(x) = g(x) - h(x) $，则：
$$
f'(x) = g'(x) - h'(x)
$$
4. 乘法法则（莱布尼茨法则）
若 $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $，则：
$$
f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)
$$
5. 商法则
若 $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $，且 $ h(x) \neq 0 $，则：
$$
f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
$$
6. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
三、总结
导数是研究函数变化的重要工具，掌握基本导数公式和运算法则有助于快速解决各种微分问题。无论是简单的多项式函数，还是复杂的三角函数、指数函数，都可以通过上述公式和法则进行求导。在学习过程中，建议多做练习题，以加深对导数的理解与应用能力。
