在热力学领域，混合加热循环是一种常见的热机工作循环，广泛应用于内燃机、燃气轮机等动力装置中。该循环结合了定压加热和定容加热两种方式，因此其热效率的计算较为复杂。本文将详细阐述混合加热循环热效率的推导过程，帮助读者更好地理解其原理与应用。
首先，我们需要明确混合加热循环的基本结构。该循环由以下几个主要过程组成：
1. 绝热压缩过程（1→2）：工质在气缸中被活塞压缩，此过程中系统与外界无热量交换，仅通过做功改变其内部能量。
2. 定容加热过程（2→3）：在活塞处于上止点时，燃料燃烧导致气体温度升高，但体积保持不变。
3. 定压加热过程（3→4）：随着活塞下行，气体继续膨胀并吸收热量，此时压力保持恒定。
4. 绝热膨胀过程（4→5）：气体推动活塞做功，完成对外界输出功的过程。
5. 定容放热过程（5→1）：最后，气体释放余热，恢复到初始状态，为下一次循环做准备。
接下来，我们从热力学第一定律出发，分析各阶段的能量变化，并逐步推导出整个循环的热效率表达式。
一、热效率定义
热效率η是指循环中对外输出的净功W与输入热量Q_in之比，即：
$$
\eta = \frac{W}{Q_{in}}
$$
其中，W为循环中所做的净功，Q_in为循环中从高温热源吸收的热量。
二、各阶段热量与功的计算
1. 绝热压缩过程（1→2）
在此过程中，系统与外界无热量交换，因此：
$$
Q_{1-2} = 0
$$
根据热力学第一定律：
$$
\Delta U_{1-2} = W_{1-2}
$$
2. 定容加热过程（2→3）
由于体积不变，故：
$$
W_{2-3} = 0
$$
而热量Q_2-3可表示为：
$$
Q_{2-3} = m c_v (T_3 - T_2)
$$
其中，m为工质质量，c_v为定容比热容，T为温度。
3. 定压加热过程（3→4）
此过程压力保持不变，热量Q_3-4为：
$$
Q_{3-4} = m c_p (T_4 - T_3)
$$
其中，c_p为定压比热容。
4. 绝热膨胀过程（4→5）
同理，此过程无热量交换：
$$
Q_{4-5} = 0
$$
且：
$$
\Delta U_{4-5} = -W_{4-5}
$$
5. 定容放热过程（5→1）
体积不变，故：
$$
W_{5-1} = 0
$$
热量Q_5-1为：
$$
Q_{5-1} = m c_v (T_1 - T_5)
$$
三、总热量与净功的计算
整个循环中，输入的热量为Q_in，包括Q_2-3和Q_3-4：
$$
Q_{in} = Q_{2-3} + Q_{3-4} = m c_v (T_3 - T_2) + m c_p (T_4 - T_3)
$$
而放出的热量Q_out为Q_5-1：
$$
Q_{out} = Q_{5-1} = m c_v (T_1 - T_5)
$$
净功W为：
$$
W = Q_{in} - Q_{out}
$$
因此，热效率为：
$$
\eta = \frac{Q_{in} - Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}
$$
代入各项表达式得：
$$
\eta = 1 - \frac{m c_v (T_1 - T_5)}{m c_v (T_3 - T_2) + m c_p (T_4 - T_3)}
$$
进一步化简：
$$
\eta = 1 - \frac{c_v (T_1 - T_5)}{c_v (T_3 - T_2) + c_p (T_4 - T_3)}
$$
四、引入压缩比与膨胀比
为了便于工程应用，通常引入压缩比ρ（ρ = V₁/V₂）和膨胀比σ（σ = V₄/V₅），并利用理想气体状态方程进行换算。最终可以得到更简洁的热效率表达式，如：
$$
\eta = 1 - \frac{1}{\rho^{\gamma - 1}} \cdot \frac{\left( \frac{T_4}{T_3} - 1 \right) + \frac{1}{\gamma} \left( \frac{T_3}{T_2} - 1 \right)}{\left( \frac{T_4}{T_3} - 1 \right) + \frac{1}{\gamma} \left( \frac{T_3}{T_2} - 1 \right)}
$$
其中γ为比热比（γ = c_p/c_v）。
五、结论
通过对混合加热循环中各阶段的能量变化进行分析，我们成功推导出了其热效率的数学表达式。这一过程不仅有助于理解循环的工作原理，也为实际工程设计提供了理论依据。在后续研究中，还可以考虑不同工质、非理想气体效应以及实际损耗等因素，以进一步提高热效率模型的准确性。
