在数学分析中，偏导数是一个非常重要的概念，它主要用于研究多元函数的变化规律。偏导数是对一个变量求导时，将其他变量视为常数的一种导数形式。这里我们将探讨偏导函数的一些基本公式及其应用。

首先，我们来看一下二元函数z=f(x,y)的偏导数公式：

1. 对x求偏导数：

∂z/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx

2. 对y求偏导数：

∂z/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy

这两个公式表明了如何从定义出发来计算偏导数。实际上，在实际操作中，我们通常利用已知的微分规则来简化计算过程。

对于常见的初等函数，我们可以列出它们的一阶偏导数公式：

1. 幂函数：若f(x,y)=x^n y^m，则有

∂f/∂x = nx^(n-1)y^m

∂f/∂y = mx^ny^(m-1)

2. 指数函数：若f(x,y)=a^xb^y，则有

∂f/∂x = ln(a)a^xb^y

∂f/∂y = ln(b)a^xb^y

3. 对数函数：若f(x,y)=ln(x)ln(y)，则有

∂f/∂x = 1/(xln(y))

∂f/∂y = 1/(yln(x))

此外，当涉及到复合函数时，链式法则同样适用于偏导数的计算。例如，如果u=u(x,y)，v=v(x,y)，那么对于z=f(u,v)，我们有：

∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)

∂z/∂y = (∂z/∂u)(∂u/∂y) + (∂z/∂v)(∂v/∂y)

这些公式为我们提供了强大的工具去分析和解决涉及多变量的问题。通过理解和掌握上述内容，我们可以更好地把握多元函数的性质，并将其应用于物理、工程等领域中的实际问题之中。